Rieccomi qua.
Il limite a due variabili scritto sopra si puo` calcolare passando in coordinate polari :
e calcolando poi il limite r-> 0 (attenzione: qui x e` un parametro costante)
uso lo sviluppo di McLaurin:
che, in generale, non e` zero.
Quindi la funzione data non e` derivabile
Il limite a due variabili scritto sopra si puo` calcolare passando in coordinate polari :
[math]h=r\cos\theta[/math]
,
[math]k=r\sin\theta[/math]
e calcolando poi il limite r-> 0 (attenzione: qui x e` un parametro costante)
[math]\lim\limits_{h,k\to 0,0}
\frac{\frac{e^{(x+h)k}-1}{k}-x-h-\frac{1}{2}x^2k}{\sqrt{h^2+k^2}}=\lim\limits_{r\to 0}\frac{\frac{e^{(x+r\cos\theta)r\sin\theta}-1}{r\sin\theta}-x-r\cos\theta-\frac{1}{2}x^2r\sin\theta}{r}=
[/math]
\frac{\frac{e^{(x+h)k}-1}{k}-x-h-\frac{1}{2}x^2k}{\sqrt{h^2+k^2}}=\lim\limits_{r\to 0}\frac{\frac{e^{(x+r\cos\theta)r\sin\theta}-1}{r\sin\theta}-x-r\cos\theta-\frac{1}{2}x^2r\sin\theta}{r}=
[/math]
uso lo sviluppo di McLaurin:
[math]
=\lim\limits_{r\to 0}\frac{\frac{1+(x+r\cos\theta)r\sin\theta-1}{r\sin\theta}-x-r\cos\theta-\frac{1}{2}x^2r\sin\theta}{r}=-\frac{1}{2}x^2\sin\theta
[/math]
=\lim\limits_{r\to 0}\frac{\frac{1+(x+r\cos\theta)r\sin\theta-1}{r\sin\theta}-x-r\cos\theta-\frac{1}{2}x^2r\sin\theta}{r}=-\frac{1}{2}x^2\sin\theta
[/math]
che, in generale, non e` zero.
Quindi la funzione data non e` derivabile