Come da titolo vi chiedo la dimostrazione del teorema spettrale, ma leggendo sul web ho capito che ogni professore enuncia un teorema diverso a seconda della profondità con cui lo analizza. Detto questo, vi dico il mio enunciato e il lemma con cui dovrei dimostrare il teorema:
Teorema Spettrale
Sia
1.
2. Esiste una base ortonormale di
Lemma
Siano
Penso che la prima difficoltà sia capire e dimostrare cosa significa il lemma.
Dimostrazione(Teorema Spettrale) del Prof:
![:D]()
)
Per ipotesi B è una base ortonormale composta da autovettori, allora la matrice associata a T rispetto a tale base è diagonale, dunque simmetrica.
Si proceda per induzione sulla dimensione dello spazio.
n=1) Ovvio. In dimensione 1 ogni operatore è simmetrico.
n>1) Si supponga che il teorema vale per n-1.
T è simmetrico --> T ha tutti autovalori reali.
Sia
Dunque la restrizione di
Per ipotesi induttiva, esiste una base ortonormale
Vi prego aiutatemi e spiegatemi questa dimostrazione in modo chiaro!
Teorema Spettrale
Sia
[math]T: R^{n} \Rightarrow R^{n}[/math]
un endomorfismo. Le seguenti condizioni sono equivalenti:1.
[math]T[/math]
è un operatore simmetrico2. Esiste una base ortonormale di
[math]R^{n}[/math]
formata da autovettori.Lemma
Siano
[math]T: R^{n} \Rightarrow R^{n}[/math]
un endomorfismo simmetrico e
[math]U[/math]
un sottospazio vettoriale di
[math]R^{n}[/math]
tale che
[math]T(U)⊆U[/math]
. Allora
[math]T(U^{⊥})⊆U^{⊥}[/math]
.Penso che la prima difficoltà sia capire e dimostrare cosa significa il lemma.
Dimostrazione(Teorema Spettrale) del Prof:
[math]2 \Rightarrow 1 [/math]
(Questa più o meno ci sono 
)Per ipotesi B è una base ortonormale composta da autovettori, allora la matrice associata a T rispetto a tale base è diagonale, dunque simmetrica.
[math]1 \Leftarrow 2[/math]
Si proceda per induzione sulla dimensione dello spazio.
n=1) Ovvio. In dimensione 1 ogni operatore è simmetrico.
n>1) Si supponga che il teorema vale per n-1.
T è simmetrico --> T ha tutti autovalori reali.
Sia
[math]v_{1}[/math]
un autovettore di norma 1 e
[math]W=(Span{v_{1})^{⊥}[/math]
. Per il lemma precedente,
[math]T(W)⊆W[/math]
(perchè?).Dunque la restrizione di
[math]T[/math]
a
[math]W[/math]
è un endomorfismo simmetrico di uno spazio di dimensione
[math]n-1[/math]
(cosa significa?).Per ipotesi induttiva, esiste una base ortonormale
[math](v_{2},...,v_{n})[/math]
di
[math]W[/math]
composta da autobettori di
[math]T[/math]
. Aggiungiamo
[math]v_{1}[/math]
:
[math](v_{1},v_{2},...,v_{n})[/math]
è una base ortonormale di
[math]R^{n}[/math]
composta da autovettori di
[math]T[/math]
.Vi prego aiutatemi e spiegatemi questa dimostrazione in modo chiaro!