Nel tuo caso, stai enunciando il Teorema spettrale per operatori simmetrici in spazi con prodotto scalare (non è una questione di "profondità", è che ci sono almeno una decina di casi particolari di tale teorema e se, ovviamente, non stai facendo uno studio generale, risulta inutile andare a dimostrare il teorema nella sua forma più completa, per cui si cercano dimostrazioni più dirette).
Detto questo, il lemma mi sembra chiaro e non mi ci soffermo (in pratica applichi la definizione di operatore simmetrico in uno spazio a prodotto scalare).
Passiamo all'implicazione
Per l'altra implicazione, il caso
Considera lo spazio
per cui
Ora,
Per l'ipotesi induttiva, sappiamo che se il teorema vale per
P.S.: ho come l'impressione che ti sfugga qualche definizione (non puoi non sapere cosa sia la restrizione di un endomorfismo ad un sottospazio) e anche un po' di malleabilità (il non riuscire a capire come vada usato il lemma). Ti consiglio di cercare di fare in modo di aver meglio chiari i concetti man mano che prosegui. Se hai bisogno di altro, chiedi pure.
Detto questo, il lemma mi sembra chiaro e non mi ci soffermo (in pratica applichi la definizione di operatore simmetrico in uno spazio a prodotto scalare).
Passiamo all'implicazione
[math]1)\Rightarrow 2)[/math]
. Anche qui c'è poco da dire: una base ortonormale di autovettori di
[math]T[/math]
rispetto al prodotto scalare fornisce (direi quasi per definizione) la diagonalizzabilità dell'operatore stesso che, quindi (almeno prendendo il suo rappresentante per coniugio) risulta simmetrico, e tanto basta.Per l'altra implicazione, il caso
[math]n=1[/math]
è banale. Vediamo ora quello che ti manda in confusione. Sappiamo che
[math]v_1[/math]
è autovettore di norma 1: quindi, in formule[math]T V_1=\lambda_1 v_1,\qquad < v_1, v_1 >=1[/math]
Considera lo spazio
[math]U=span(v_1)[/math]
: ovviamente
[math]U=\{av_1\ |\ a\in R\}[/math]
e quindi si ha per ogni
[math]v=av_1\in U[/math]
che[math]Tv=T(av_1)=a(Tv_1)=a\lambda v_1=\lambda(av_1)=\lambda v\in U[/math]
per cui
[math]T(U)\subseteq U[/math]
e ne segue, dal lemma precedente che
[math]U^\bot=\{span(v_1)\}^\bot=span(v_1^\bot)=W[/math]
è tale che
[math]T(W)\subseteq W[/math]
Ora,
[math]U[/math]
è un sottospazio di dimensione 1, per cui il suo ortogonale
[math]W[/math]
ha dimensione
[math]n-1[/math]
: pertanto, se consideri l'operatore
[math]T[/math]
quando agisce solo sugli elementi di
[math]W[/math]
(la sua restrizione a
[math]W[/math]
) esso risulta un endomorfismo da
[math]W[/math]
in sé per quanto detto poco fa.Per l'ipotesi induttiva, sappiamo che se il teorema vale per
[math]n-1[/math]
allora deve esistere una base ortonormale di
[math]W[/math]
composta da autovettori. Se adesso a questa base aggiungi il vettore
[math]v_1[/math]
, ottieni una base ortonormale di
[math]R^n[/math]
: infatti essendo
[math]v_1[/math]
ortogonale a
[math]W[/math]
qualsiasi prodotto scalare con i vettori della base di quest'ultimo risulta nullo. Pertanto hai trovato una base ortonormale e il teorema è dimostrato. Spero sia chiaro.P.S.: ho come l'impressione che ti sfugga qualche definizione (non puoi non sapere cosa sia la restrizione di un endomorfismo ad un sottospazio) e anche un po' di malleabilità (il non riuscire a capire come vada usato il lemma). Ti consiglio di cercare di fare in modo di aver meglio chiari i concetti man mano che prosegui. Se hai bisogno di altro, chiedi pure.