Grazie! Sono riuscito a venirne a capo, riporto il procedimento che magari potrebbe essere d'aiuto ad altri studenti!
Il problema ora è risolvere il limite all'esponente, iniziamo cercando di riportarci al limite notevole
[math]\lim_{t\to\0} \frac{ln(1+t)}{t} = 1[/math]
. Possiamo aggiungere e togliere 1 dentro all'argomento del logaritmo, moltiplicando e dividendo poi per "l'argomento iniziale del logaritmo -1", ottenendo questa situazione
[math]\lim_{x\to\0} x\frac{ln(1+(x-1-\sqrt{x^2-2x}))}{x-1-\sqrt{x^2-2x}}(x-1-\sqrt{x^2-2x})[/math]
. La frazione ottenuta è esattamente il limite notevole cercato, che tende ad uno e che quindi possiamo non considerare. Ora possiamo quindi concentrarci sul limite molto più semplice
[math]\lim_{x\to\0} x(x-1-\sqrt{x^2-2x})[/math]
, dove possiamo eliminare l'indeterminazione razionalizzando, ottenendo il valore
[math]\frac{1}{2}[/math]
. Il risultato è quindi
[math]\lim_{x\to+\infty} (x-\sqrt{x^2-2x})^x = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}[/math]
.